onthicaptoc.com
ĐỒNG DƯ THỨC
1. Định nghĩa : Cho a được gọi là đồng dư với b theo modunlo m nếu a và b có cùng số dư khi chia cho m. Kí hiệu là :
Vậy
2. Tính chất : Cho thì :
a. Tính chất phản xạ :
b. Tính chất đối xứng :
c. Tính chất bắc cầu :
d.
e.
f.
g. với
h.
k.
3. Định lý Fermat nhỏ: Cho a là số nguyên và p là số nguyên tố, khi đó :
+) Đặc biệt: Nếu
4. Các dạng toán
Dạng 1 : Tìm số dư của phép chia
Bài 1: Tìm số dư
a. cho 15 b. cho 7
c. cho 9 d. cho 13
e. cho 12 f. cho 11 và 13
Lời giải
a. Ta có:
Lại có:
Từ (1)(2)
b. Ta có:
Lại có:
chia cho 7 dư 5
c. Ta có:
Vậy số dư là : 4
d. Ta có:
e. Ta có:
Từ (1)(2) chia cho 12 dư 2
f. Ta có:
+)

Bài 2: Chứng minh rằng
a. chia hết cho 31 b. chia hết cho 7
c. chia hết cho 2016
Lời giải
a.
chia hết cho 31
b. Ta có:
Lại có :
Từ (1)(2)
Mặt khác :
Từ (3)(4)
c. Ta có:
Bài 3: Chứng minh rằng : chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n
Lời giải
Ta có:
Lại có :
Bài 4: Chứng minh rằng :
Lời giải
Ta có:
Lại có:
Bài 5: Tìm số dư : chia cho 3 và 5
Lời giải
Ta có:
chia 3 dư 2
+) Lại có:
Vậy A chia 5 dư 2
Bài 6: Chứng minh rằng
a. chia hết cho 11 b. chia hết cho 30
c. chia hết cho 7 d. chia hết cho 2014
Lời giải
a.
b.
c.
Có:
d. Ta có :
Bài 7: Tìm số dư trong phép chia chia cho 111
Lời giải
Ta có:
chia 111 dư 25.
Bài 8: Sử dụng định lý Fermat nhỏ
Chứng minh rằng :
Lời giải
Vì 7 là số nguyên tố nên (10,7) = 1 nên theo định lý Fermat nhỏ ta có :
Với mọi số tự nhiên n khác 0 thì :
Đặt
Bài 9: Sử dụng định lý Fermat nhỏ
Chứng minh rằng :
Lời giải
Vì 11 là số nguyên tố nên theo định lý Fermat nhỏ ta có :

Áp dụng kết quả trên ta được :
Bài 10: Chứng minh rằng :
Lời giải
Ta có :
Ta cần chứng minh :
+) Nếu
+) Nếu
+) Nếu
Vậy
Bài 11: Chứng minh rằng :
Lời giải
Ta có :
+) Có :
+)
+)
+)
Đặt
Vậy
Bài 12: Chứng minh rằng : ( Có 100 chữ số 7 )
Lời giải
Ta có : 20 = 4. 5
Đặt
Ta có :
Bài 13: Chứng minh rằng :
Lời giải
+)
+)
+)
+)
Vậy A luôn chia hết cho 5 khi n không chia hết cho 4
Bài 14: Chứng minh rằng :
Lời giải
Bài 15: Chứng minh rằng :
Lời giải
+) Với n = 2 luôn đúng
+) Xét với n > 2
Ta có nhận xét sau :
Bài 16: Chứng minh rằng :
Lời giải
Ta có :
+)
+)
Vậy
Bài 17: Giả sử là các số tự nhiên thỏa mãn :
Tìm số dư khi chia cho 30
Lời giải
Ta có :
Có :
Mặt khác :
Vậy số dư là 25
Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một sô
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của
a. b. c.
Lời giải
a. Ta có :
Lại có :
Vậy có tận cùng là 9
b.
Vậy tận cùng là 6
c. có tận cùng là 6
onthicaptoc.com

onthicaptoc.com 10 Chuyen de boi duong HSG toan 8 Dong du thuc